B A BA

Hoje, uma amiga chamou-me a atenção para algo que estava escrito numa mesa do Instituto Superior Técnico, que era o exactamente o seguinte:

Infelizmente, só vejo duas hipóteses para o facto de isto estar escrito numa mesa: ou duas pessoas estavam a debater se (a+b)^2 é igual a a^2+b^2, e quem defendia que não utilizou o método acima para demonstrar que tinha razão; ou alguém tinha dúvidas sobre o resultado e fez por si próprio a conta para o confirmar.

É preciso não esquecer que ninguém entra no IST (para qualquer curso!) sem ter tido pelo menos 10 valores no exame de Matemática, e tendo em conta que as médias para a maioria dos cursos andam a rondar os 15 valores, na verdade devem ser muito poucos os que entram com menos de 13 nesse exame.

E mesmo assim, neste leque filtrado de alunos que são (ou deveriam ser) pelo menos bons a matemática, ainda há quem não saiba de cor e salteado que (a+b)^2 é diferente de a^2+b^2, e que na verdade (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Se não me engano, isto é dado no 9º ano, e é um dos casos notáveis da multiplicação mais básicos e mais utilizados ao longo do ensino secundário e superior. Para se ter um termo de comparação, eu diria que é tão grave como um aluno de Literatura não saber quem escreveu Os Lusíadas, e penso que a maioria dos professores de disciplinas de ciências concordarão comigo.

É claro que não presenciei aquilo a ser escrito e, portanto, posso estar enganado, e não foi nada disto que na verdade se passou. No entanto, não me parece que alguém escreva aqueles resultados só porque lhe apeteceu, e portanto acho que, com grande probabilidade, tratou-se de alguém que não sabia ou que se esqueceu (o que, neste caso, é igualmente grave). Contudo, o leitor poderá discordar de mim. Como contei a história tal como ela aconteceu, cada um poderá tirar as suas conclusões.

Piadas Matemáticas

No livro O Fim do Mundo Está Próximo?, Jorge Buescu dedica um capítulo àquele que é, em sua opinião, o maior matemático de todos os tempos: Leonhard Euler, que escreveu a famosa equação

considerada uma das belas equações que a matemática alguma vez produziu. Há muitas citações sobre ela: Richard Feynman disse que era "one of the most remarkable, almost astounding, formulas in all of mathematics"; Benjamin Price escreveu "It is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means. But we have proved it, and therefore we know it must be the truth".

No já referido livro, Jorge Buescu explica que

a beleza desta equação provém da sua capacidade de unificação espantosa, quase sobrenatural. O número e (que tem esse nome justamente por e ser a inicial de Euler) provém da análise matemática, de um certo limite notável. A unidade imaginária tem origem na álgebra, como solução da equação polinomial x^2+1=0. O número pi tem origem na geometria: é a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma qualquer circunferência. E o número 1 é a unidade da aritmética. Análise, álgebra, geometria, aritmética: tudo coisas diferentes. Completamente? Pelo contrário: a equação [de Euler] mostra que, por baixo das diferenças superficiais, existem relações profundas que fazem com que toda a matemática seja uma só ciência.

Depois acrescenta o seguinte, que para quem percebe este sentido unificador da equação mostra que os matemáticos até têm sentido de humor, mesmo quando o assunto é o seu próprio trabalho:

Uma piada fácil (mas falsa...) sobre a equação: no membro esquerdo está toda a matemática, no membro direito o seu verdadeiro valor...

Visões sobre a utilização da calculadora no ensino básico ouvidas no encontro da SPM em Leiria

Estive em dois dos três dias do encontro da Sociedade Portuguesa de Matemática, em Leiria, realizado nos dias 8 a 10 do presente mês, durante os quais tive oportunidade de ouvir várias visões sobre a utilização da calculadora nas disciplinas de Matemática em turmas do ensino básico.

Uma das visões consiste na proibição de se utilizar da calculadora na sala de aula. Desde os testes aos exercícios que se fazem na aula ao longo do ano, os alunos não deviam poder utilizar de todo a calculadora, talvez exceptuando um ou outro caso pontual, em que fosse devidamente autorizada.

Outro ponto de vista que tive oportunidade de ouvir propunha que a calculadora devesse ser utilizada para cálculos em que é de facto útil utilizá-la, ou seja, quando é mais fácil e rápido do que fazer o cálculo à mão ou de cabeça.

Esta visão parece-me preocupante, por duas razões. Primeiro, porque para os alunos aprenderem a distinguir entre os cálculos que se fazem mais rápido de cabeça e os que se fazem mais rápido na calculadora, é preciso praticarem "à mão" muito de ambos. Se um aluno puder sempre usar calculadora, nunca irá aprender a distinguir 50*27*2 de 12*17*6 em termos de rapidez de cálculo mental.

A segunda razão é que é perigoso afirmar que se deve sempre permitir aos alunos utilizar os métodos mais fáceis e rápidos. É evidente que ninguém, no quotidiano, vai fazer 253*439*13 à mão se tiver uma cálculadora ao lado, mas isso não significa que o mesmo se aplique a um aluno. Seguindo esta lógica, nas disciplinas de Análise ou Cálculo de uma faculdade, só se pediria aos alunos para fazer primitivas de constantes, polinómios ou exponenciais (sem funções compostas), que são rápidas de fazer de cabeça; primitivas por partes ou por substituição ficariam reservadas para programas de computador ou calculadoras avançadas (que hoje em dia já não são raras) fazerem.

Finalmente, a professora Liping Ma apresentou uma visão interessante acerca da utilização das calculadoras, mas, na minha opinião, sem aplicabilidade prática numa sala de aula portuguesa. Liping Ma disse que, de vez em quando, os alunos deveriam ter acesso a calculadoras, mas não as deveriam utilizar como uma ferramenta, mas sim como um brinquedo. Por outras palavras, as calculadoras não podiam substituir o cálculo manual em que se praticam os algoritmos, mas simplesmente ajudarem os alunos a confirmar as suas contas e a perceberem as suas potencialidades.

Esta ideia lembra-me uma história contada por Nuno Crato no Prós-e-Contras de um colégio Norte-Americano em que os professores não podiam vigiar provas, pois se um aluno fosse apanhado a copiar, os próprios colegas o colocariam fora da sala. Também esta ideia é interessante, mas, como se pode calcular, não se poderia aplicar numa sala de aula portuguesa, pois ninguém a cumpriria. Ambas requerem algo que, actualmente, os alunos portugueses não têm: responsabilidade, esforço e vontade de aprender.

A ler

• A educaçãorrota, no De Rerum Natura; um excerto de um artigo sobre o estado da educação, escrito por Santana Castilho que saiu no jornal Público dia 23 de Junho

• A minha mente tem a história que tem, no Público; uma entrevista ao matemático John Nash, que inspirou o filme Uma Mente Brilhante